为了在 Next.js 中支持跨域请求，你可以在你的API路由中使用 CORS（Cross-Origin Resource Sharing）中间件。CORS是一种机制，它允许Web应用程序从不同的源访问其资源。

以下是在 Next.js API 路由中使用 CORS 中间件的示例：

import Cors from 'cors';

// 初始化 CORS 中间件
const cors = Cors({
  methods: ['GET', 'HEAD', 'POST', 'OPTIONS'],
});

// API 路由处理程序
const handler = (req, res) => {
  // 启用 CORS 中间件
  cors(req, res, () => {
    // 处理你的 API 请求
    // ...
  });
};

export default handler;

在上面的代码中，我们首先通过安装和导入 cors 包来初始化 CORS 中间件。然后，在路由处理程序中，我们启用 CORS 中间件，并在其中处理我们的 API 请求。注意，我们必须在处理程序函数中调用 cors 函数，以便它能够正确地工作。

请注意，这只是一个基本示例，你可能需要根据你的具体需求进行更改和定制。例如，你可以通过设置自定义的 origin 和 credentials 选项来进一步控制 CORS 中间件的行为。

希望以上信息能够帮到你！